문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 효용극대화 문제 (문단 편집) == 예제 == ||'''[문제]''' ----- 소득 [math(15)]를 갖고 있는 어느 소비자의 효용함수가 [math(u=x_1\sqrt{x_2})]이다. 재화1의 가격은 [math(4)]이고 재화2의 가격은 [math(3)]일 때, 소비자 균형과 그때의 효용을 구하시오. (단, [math(x_1)]과 [math(x_2)]는 각각 재화1과 재화2의 소비량이다.) || {{{#!folding [풀이 1] ---- 재화1의 가격을 [math(p_1=4)], 재화2의 가격을 [math(p_2=3)], 소득을 [math(m=15)]로 둘 수 있으므로 예산선의 방정식은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(4x_1+3x_2=15)]}}} 구하고자 하는 소비자 균형점을 [math((x_1^*,\,x_2^*))]라 하면 소비자의 선택 원리에 따라 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(4x_1^*+3x_2^*=15)]}}} 또한, 2계 조건을 만족시키는지를 검토하기 위하여 한계대체율을 구하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{\sqrt{x_2}}{x_1/2\sqrt{x_2}}=\dfrac{2x_2}{x_1})]}}} [math(x_1)]이 분모에 있으므로, [math(x_1)]이 증가할 때 한계대체율은 감소한다. 곧, 한계대체율은 체감하며 무차별곡선은 원점에 대하여 볼록하므로 문제의 효용함수는 2계 조건을 만족시킨다. 이에 따라 최적 선택은 예산선과 무차별곡선이 접하는 점에서 발생함을 확신할 수 있다. 따라서 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(MRS(x_1^*,\,x_2^*)=\dfrac{p_1}{p_2}\quad\rightarrow\quad\dfrac{2x_2^*}{x_1^*}=\dfrac43)][br][br][math(\therefore 2x_1^*=3x_2^*)]}}} 이렇게 [math(x_1^*)]과 [math(x_2^*)]에 대한 식을 두 개 얻었으므로 두 미지수의 값을 모두 구할 수 있는 것이다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{cases}4x_1^*+3x_2^*=15\\2x_1^*=3x_2^*\end{cases})]}}} 이 연립방정식을 풀면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(x_1^*=\dfrac52,\,x_2^*=\dfrac53)]}}} 이며 그에 따른 효용은 이 값들을 효용함수 [math(u)]에 대입하면 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(u\left(\dfrac52,\,\dfrac53\right)=\dfrac52\times\sqrt{\dfrac53}=\dfrac{5\sqrt{15}}6)]}}} 실제로 무차별곡선과 예산선의 그래프를 그리면 다음과 같은데, 무차별곡선은 원점에 대하여 볼록하며 예산선과 접하는 점에서 소비자 균형이 발생하고 있다. [[파일:효용극대화 문제 예제 1 그래프.png|width=250&align=center]]}}} {{{#!folding [풀이 2: 라그랑주 승수법] ---- 라그랑주 승수법을 이용하여 풀어 보자. 앞서 밝혔듯이 라그랑주 승수법은 해당 효용함수가 2계 조건을 만족시킬 때만 사용할 수 있는데, [풀이 1]에서 그렇다는 것을 밝혔으므로 이렇게 풀어도 되는 것이다. 먼저, 라그랑주 함수는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{aligned}L(x_1,\,x_2,\,m)&=u(x_1,\,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-m)\\&=x_1\sqrt{x_2}-\lambda(4x_1+3x_2-15)\end{aligned})]}}} 이제 이를 [math(x_1)], [math(x_2)], [math(\lambda)]에 대하여 각각 편미분하여 그 값을 0으로 두면 된다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{aligned}\dfrac{\partial L}{\partial x_1}&=\sqrt{x_2^*}-4\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial x_2}&=\dfrac{x_1^*}{2\sqrt{x_2^*}}-3\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial\lambda}&=-4x_1^*-3x_2^*+15=0\end{aligned})]}}} 첫째 식과 둘째 식을 연립하면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{cases}\sqrt{x_2^*}=4\lambda\\\dfrac{x_1^*}{2\sqrt{x_2^*}}=3\lambda\end{cases})]}}} 이고 첫째 식을 둘째 식으로 나누면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\dfrac{2x_2^*}{x_1^*}=\dfrac43\quad\rightarrow\quad2x_1^*=3x_2^*)]}}} 이를 셋째 식과 연립하면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{cases}2x_1^*=3x_2^*\\4x_1^*+3x_2^*=15\end{cases})]}}} 이 연립방정식을 풀면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(x_1^*=\dfrac52,\,x_2^*=\dfrac53)]}}} 이며 그에 따른 효용은 이 값들을 효용함수 [math(u)]에 대입하면 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(u\left(\dfrac52,\,\dfrac53\right)=\dfrac52\times\sqrt{\dfrac53}=\dfrac{5\sqrt{15}}6)]}}} 따라서 [풀이 1]과 결론이 완전히 같다.}}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기